- [(A∨B)→C]→[(D∧¬C)→(A→E)] is a tautology.
T - ∃x(∀yPy→Rx) is logically equivalent to ∀yPy→∃xRx.
T
1.∃x(∀yPy→Rx) 前提
2.∀yPy ACP for ∃xRx
3.∀yPy→Rx 1, EI
4.Rx 2,3, MP
5.∃xRx 4, EG
6.∀yPy→∃xRx 2-5, CP
.
1.∀yPy→∃xRx 前提
2.¬∃x(∀yPy→Rx) AIP
3.∀x¬(∀yPy→Rx) 2, EQ
4.∀x(∀yPy∧¬Rx) 3, Impl, Dem, DN
5.∀yPy∧¬Rx 4, UI
6.∀yPy 5, Simp
7.∃xRx 1,6, MP
8. ¬Rx 5, Simp
9.∀x¬Rx 8, UG
10.¬∃xRx 9, EQ
11.∃xRx∧¬∃xRx 7,10, Conj
12.∃x(∀yPy→Rx) 2-11, IP
. - Suppose A is contingent. If A and B are inconsistent and A and C are inconsistent, then B and C must be inconsistent.
F
A和B不一致,而且A和C不一致,表示A和B不可能同時為真,而且A和C不可能同時為真。所以當A為真時,B和C都不會為真;但A為假時,B和C的真值不管怎麼設定都不會和「A和B不一致,而且A和C不一致」的前提有衝突。所以A和B不一致,而且A和C不一致,而且B和C一致的情況是有可能的。
.
或者,畫出A、B、C的真值表,然後把A和B同時為真的那列劃掉,再把A和C同時為真的那列劃掉,最後檢查剩下的列裡有沒有B和C同時為真的情況。
. - P∧R logically implies Q if and only if P logically implies P→Q and R logically implies R→Q.
F
P∧R⊧Q iff P⊧P→Q and R⊧R→Q
A蘊含(imply,⊧)B的意思是,當A為真時,B也會為真(不會有A為真B為假的情況)。檢查A if and only if B為不為真的方式有三種:
一、當A為真時,B也為真。而且當B為真時,A也為真。
我用第二種方式檢查。
二、當A為假時,B也為假。而且當B為假時,A也為假。
三、當A為真時,B也為真。而且當A為假時,B也為假。
P∧R⊧Q只會在P和R為真,Q為假的時候為假。在P和R為真,Q為假的時候,P⊧P→Q and R⊧R→Q也為假。
P⊧P→Q and R⊧R→Q會在P或R為真,Q為假的時候為假。在P和R只有其中一個為真,Q為假的時候,P∧R⊧Q會為真。
.
因為有P∧R⊧Q為真,但P⊧P→Q and R⊧R→Q為假的情況(P和R只有其中一個為真,Q為假),故P∧R⊧Q iff P⊧P→Q and R⊧R→Q為假。
. - A is true unless B is false. So A and B cannot be both true.
F
P: A is true.
Q: B is true.
「A is true unless B is false」可以被改寫成P∨¬Q。當P和Q皆為真時,P∨¬Q也為真。所以A和B可以同時為真。
“If I am not attending a congressional meeting, I am planning for a better future of our country. And if I am not planning for a better future of our country, I am listening to our people for their opinions.” What’s wrong with his statement?
A: I am attending a congressional meeting.III. Let “Lxy” stand for “x loves y”,
P: I am planning for a better future of our country.
L: I am listening to our people for their opinions.
這位政治家說的話可以被改寫成¬A→P, ¬P→L。
1.¬A→P 前提
2.¬P→L 前提
3.¬P ACP
4.A 1,3, MT
5.L 2,3, MP
6.A∧L 4,5, Conj
7.¬P→(A∧L) 3-6, CP
8.¬(A∧L) 根據常識,大概沒有人可以一邊開國會會議一邊聴取人民的意見。
9.P 7,8, MT
這位政治家一直在為國家的美好未來做打算。不過大概沒有人能無時無刻都掛念著同一件事。
“Hxy” stand for “x hates y” and
“Px” stand for “x is a philosopher”.
Please symbolize the following sentence.
Someone who is not a philosopher loves exactly two different philosophers who hate each other.
∃x(¬Px∧∃y∃z(Lxy∧Lxz∧∀u(Lxu→(u=y∨u=z))∧¬y=z∧Py∧Pz∧Hyz∧Hzy))IV. Please prove the following valid argument.
∀x(Rx↔Qx), ∃x(¬(Px↔Qx)↔Rx) /∴ ∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)→∀x¬Rx
- ∀x(Rx↔Qx)
- ∃x(¬(Px↔Qx)↔Rx)
- ∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px) ACP for ∀x¬Rx
- ¬(Px↔Qx)↔Rx 2, EI
- (¬Px↔Qx)↔Rx 4, 等價
- ¬Px↔(Qx↔Rx) 5, 等價
- [¬Px∧(Qx↔Rx)]∨[Px∧¬(Qx↔Rx)] 6, Equiv
- Rx↔Qx 1, UI
- ¬Px∨(Rx↔Qx) 8, Add, Comm
- ¬[Px∧¬(Qx↔Rx)] 9, Dem, DN, 等價
- ¬Px∧(Qx↔Rx) 7,10, DS
- ¬Px 11, Simp
- (∃yRy∧∃yQy)→Px 3, UI
- ¬(∃yRy∧∃yQy) 12,13, MT
- ∀y¬Ry∨∀y¬Qy 14, QN
- ¬∀y(¬Ry∨¬Qy) AIP
- ∃y(Ry∧Qy) 16, QN, DeM, DN
- Ry∧Qy 17,EI
- ∃yRy∧∃yQy 18, Simp, EG, Conj
- ¬∀y¬Ry∧¬∀y¬Qy 19,QN
- ¬(∀y¬Ry∨∀y¬Qy) 20, Dem, DN
- (∀y¬Ry∨∀y¬Qy)∧¬(∀y¬Ry∨∀y¬Qy) 15,21, Conj
- ∀y(¬Ry∨¬Qy) 16-22, IP
- ¬Rx∨¬Qx 23, UI
- ¬(Rx∧Qx) 24, Dem, DN
- (Rx∧Qx)∨(¬Rx∧¬Qx) 8, Equiv
- ¬Rx∧¬Qx 25, 26, DS
- ¬∀yQy 27, Simp, EG, QN
- ∀y¬Ry 15,28, DS
- ¬Rz 29, UI
- ∀x¬Rx 30, UG
- ∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)→∀x¬Rx 3-31, CP
另一個方法:
- ∀x(Rx↔Qx)
- ∃x(¬(Px↔Qx)↔Rx)
- ¬[∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)→∀x¬Rx] AIP
- ∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)∧¬∀x¬Rx 3, DeM, DN
- ∃xRx 4, Simp, QN
- Rx 5, EI
- Rx↔Qx 1, UI
- Qx 6,7, Equiv, Simp, MP
- ∃yRy∧∃yQy 6,8, EG, Conj
- ¬(Py↔Qy)↔Ry 2, EI
- ∃yRy∧∃yQy→Py 4, Simp, UI
- Py 9,11, MP
- ¬Py↔(Qy↔Ry) 10, 等價
- Qy↔Ry 1, UI, 等價
- ¬Py 13,14, Equiv, Simp, MP
- Py∧¬Py 12,15, Conj
- ∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)→∀x¬Rx 3-16, IP
相關文章:
一百年中正哲學碩班甄試邏輯試題試答 - 啊啊哲學