述詞邏輯也是一門語言,所以我們先學這個語言有哪些符號,然後學term,再學well-formed formula(合文法的句式,有人翻成完構式,簡稱wff)長什麼樣。
符號
邏輯符號(所有述詞邏輯的語言都會有這些符號,而且這些符號的詮釋是規定好的,不開放任意詮釋)
- 變元(variable):$v_1, v_2, ⋯$ (有時會用$x, y, z, u, v$之類的)
- 連接詞(connective):$¬, ∧, ∨, →, ↔$
$¬$的其他寫法:$~$
$∧$的其他寫法:$·$
$→$的其他寫法:$⊃$
$↔$的其他寫法:$≣$ - 量限詞(quantifier):$∃, ∀$(有些人認為量限詞是非邏輯符號才對)
- 等號:$=$(有些人認為等號是非邏輯符號才對)
- 括號,或叫分段符號:(, ), [, ], {, }
- 常元(constant):$a, b, c, ⋯, c_1, c_2, ⋯$ (長相不固定,如果有某個述詞邏輯的語言就是要拿「這個是放在,荷花的左邊」當常元,我們也沒辦法)
- 述詞(predicate):$A, B, C, ⋯, P_1, P_2, ⋯, ∈, <, ⋯$(長相不固定)
- 函數(function):$f, g, h, ⋯, f_1, f_2, ⋯, +, -, ×, ÷, ⋯$(長相不固定)
在以上這些符號之外的東西,就不是述詞邏輯這門語言的符號了。
Term
- 所有變元和常元都是term。
- 如果$f$是一個$n$元函數,那麼把$f$的參數位置都用term填滿後得到的東西,也是term。
- 以上兩點之外的東西都不是term。
所以,如果語言$L$有$c$這個常元和$g$這個二元函數,那麼下列都是這個語言的term:
- $g(x, c)$
- $g(g(x,c), c)$
- $g(g(x,c), g(y, c))$
- $g(g(g(x, y), c ), g(c, z))$
下列這些都不是這個語言的term:
- $g(c, x, c)$($L$裡沒有三元的函數$g$)
- $g(a, c)$($L$裡沒有符號$a$)
- $g(c)$($L$裡沒有一元的函數$g$)
- $cc$
Well-formed formula
- 如果$P$是一個$n$元述詞,那麼把$P$的參數位置都用term填滿後得到的東西,就是wff。這種wff有個特定的名字叫atomic formula(原子句式),是最簡單的wff。
- 如果$α,β$都是wff,$v$是隨便哪個變元,那麼下列這些也都是wff:$(¬α)$, $(α∧β)$, $(α∨β)$, $(α→β)$, $(α↔β)$, $(∃vα)$, $(∀vα)$。(有時會適度省略一些括號)
- 以上兩點以外的東西都不是wff。
所以,如果語言$L$有$c$這個常數,和$g$這個二元函數,和$Q$這個二元述詞,那麼下列都是這個語言的wff:
- $Q(c, c)$
- $Q(x, y)$
- $Q(c, z)$
- $Q(x, y)∧Q(x, y)$
- $∃zQ(x, y)$
- $∃x∀y[∃zQ(x, y)→¬Q(x, y)]$
我們會把裡面沒有出現自由(free)變元的formula稱為sentence。上列六個formula中,只有第一個和第六個是sentence。
下列都不是這個語言的wff:
下列都不是這個語言的wff:
- $Q(c, c)= Q(c, c)$(等號是述詞,述詞的參數位置要放term,不是放formula)
- $Q(Q(x,y), c)$($Q$是述詞,述詞的參數位置要放term,不是放formula)
- $Q(c)$($L$裡沒有一元的述詞$Q$)
- $∧Q(x, y)$
- $Q(x, y)∃z$
一個簡單的term 可以算是一個wff嗎?
ReplyDelete比如 Q (x,y)
我還是不太明白 term 和 formula 的差別..
可以再詳細解釋一下嗎,謝謝妳.